A principal diferença está no sistema que ajuda você a girar o volante. Na direção hidráulica, um motor auxiliar (a bomba) é acionado pelo motor do carro através de uma correia. Essa bomba força um fluido especial (o fluido de direção) através de mangueiras para dentro de um mecanismo que reduz o esforço que você faz nas curvas. É como se você tivesse um 'musculoso' invisível ajudando. Já na direção elétrica, não existe essa bomba, correia, nem fluido. Um motor elétrico é acoplado à coluna de direção ou à caixa de direção, e um computador (módulo) calcula a força de assistência com base em quanto você está girando o volante e na velocidade do carro.
Na prática, a direção elétrica é mais econômica e moderna. Como o motor elétrico só funciona quando você está virando, ela não 'rouba' potência do motor constantemente como a hidráulica, o que gera uma pequena economia de combustível. Além disso, ela é mais silenciosa e permite recursos modernos como assistência de estacionamento e ajuste de dureza do volante conforme a velocidade. A hidráulica, por outro lado, era o padrão por décadas e ainda é muito comum em carros mais antigos e alguns utilitários. Ela costuma dar uma sensação de volante mais 'conectada' à estrada, algo que os puristas gostam.
Em termos de manutenção, são mundos diferentes. A direção hidráulica exige trocas periódicas do fluido, pode apresentar vazamentos nas mangueiras ou na bomba, e se a correia que aciona a bomba arrebentar, você perde a assistência completamente, ficando com o volante extremamente pesado. Na elétrica, a manutenção é praticamente inexistente, pois não há fluido para vazar ou correia para estourar. O ponto de atenção dela é o módulo e o motor elétrico, cujo reparo costuma ser mais caro se quebrar, mas a confiabilidade geral é alta.
Para o dia a dia no Brasil, a direção elétrica é a mais vantajosa para a maioria dos motoristas. É mais leve para manobrar em estacionamentos apertados, não tem custos de manutenção preventiva e economiza um pouco no tanque. Se você tem um carro com direção hidráulica e sentir o volante ficando muito duro, ouvir um barulho de 'miado' ao virar o volante (sinal de fluido baixo ou bomba com problema), ou notar uma poça de óleo avermelhado debaixo do carro, é hora de procurar um mecânico imediatamente para verificar vazamentos ou problemas na bomba.